数学史上的第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。严重地冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部份被收人他的《几何原本》中。
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机被视为基本解决。
第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。第一种集合：集合本身不是它的元素，即AA；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的悖论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个所谓无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。在 ZF 里面区分了类聚(class)和集合(set)。类聚是大到不能含于其它集合或类聚的集合，集合是较多限制的类聚。根据 Neumann 的说法，集合不容许引起矛盾，但可以当做其它类聚的元素。
ZF 的公理系统已能把集合论拓展到符合古典分析的应用，也能防止悖论的出现，至少迄今无人在这套理论中发现悖论。但这套公设化集合论的一致性从未完全被证明过。关于此点，Poincare 有一段贴切的比喻：“我们已用围墙把一群羊围住，以防止野狼的入侵。但我们不知这围墙内是否早已有野狼的存在。”
所谓一致性，也可称为相容性，协调性或非矛盾性，即指一公理体系内的各个公设之间在有限的逻辑推理下不会导致矛盾。很显然的，如果一个系统内的公设是相互矛盾的，那么这个公理系统将无任何价值可言。当数学被视为是自然的真理时，互相矛盾的定理是不可能发生的。因此一致性也就成了无稽之谈。但自从非欧几何兴起后，它与实体感觉格格不入，而引起一致性的问题。至1800年代，人们逐渐意识到算术和欧氏几何并非真理，这使得研究它们的一致性变成十分重要的事。Hilbert 曾在假设算术公设是一致的情况下，成功地建立了几何的一致性。这是所谓的相对性证明。他在 1900年的巴黎演说中提出著名的二十三个数学问题，其中集合论的连续统假设和算术的一致性分列第一，二个。Hilbert 强调这是数学基础中十分重要的问题。他还乐观地认为，必能在有限的逻辑步骤下，证明算术系统的绝对一致性。Pringsheim 也说过：“数学所探寻的真理就是一致性。”
除了一致性的问题之外，为了证明良序原理，Zermelo 在集合论中引入了选择公理(axiom of choice, AC)。许多数学家认为这个公理是有瑕疵的。选择公理的大意是说在一由任意多集合所组成的集合族中，必可从其每一集合中挑选一元素组成一集合。如果这集合族是有限的，那么这样的挑选是显然的。但在一无限大的集合族中进行这样挑选的可行性就倍受质疑。这个公理的必要性和独立性在一段相当长的时间里悬而未解。
Godel 于1937年证明了Zermelo 集合论导不出Hilbert 第一问题“连续统假设”不成立。奇怪的是，Cohen在1963年却证明了Zermelo 集合论导不出“连续统假设”是成立的。由于连续统假设是现代数学中最根本，最基础的问题，他们的结果令数学家们感到很惊异。所以说用现代数学的基础是不可能穷尽所有的规律的。要真正认识宇宙的理，就超出现代数学这种工具所能探知的范围了。
事实证明，只有跳出现有科学的局限，站在更高的境界，才能看到正真的理。“现代人类的知识，所能了解的只是极浅的一点点而已，离真正认识宇宙的真象，相差甚远。”（《转法轮》“论语”）
在数学产生危机之时，数学家就试图通过建立无需证明的公理体系化解矛盾。于是，问题转化成了证明公理体系的一致性。如果满足一致性就可以将公理本身看作为绝对的真理了。但是，事实上公理体系的一致性本身并没有得到最终的证明，而且这种做法还忽视了公理本身的局限性。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机实质上更深刻地以其它形式延续着。《转法轮》中提到的释迦牟尼佛的三千大千世界学说：其大无外，其小无内（《转法轮》）。就拿选择公理来说，我们知道，从某种程度讲，任意多集合根本就无法穷尽，所以从中穷尽挑选的可能性为零。
另外，“因为不同层次存在着不同的理”（《转法轮（卷二）》），当不同的公理存在适用范围的差异时，他们当然不存在完全的一致性，但是，在他们共同成立的范围内，一致性又是成立的。所以，数学的基础──公理化体系本身并不严格。归根到底，数学只是一种逻辑，其合理性有很多局限性，并不是绝对真理。
数学是现代科学的奠基石，但是，它最基本的公理化体系却存在着巨大的局限性。那么建立于其上的实证科学本身的局限性就更显突出了。
事实上，“如果人类能重新认识一下自己和宇宙，改变一下僵化了的观念，人类就会有一个飞跃。‘佛法’可以为人类洞彻无量无际的世界。千古以来能够把人类、物质存在的各个空间、生命及整个宇宙圆满说清的唯有‘佛法’。”（《转法轮》“论语”）
3/21/2002
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